md

Maxwell-Boltzmann分布与$\Gamma$分布

Maxwell能量的分布如下：

$f(E) = 2 \sqrt{\frac{E}{\pi}} \left( \frac{1}{kT} \right)^{3/2} \exp\left(\frac{-E}{kT} \right)$

对比$\Gamma(\alpha,\beta)$： $f(x;\alpha,\beta) = \frac{\beta^{\alpha} x^{\alpha-1} e^{-x\beta}}{\Gamma(\alpha)} \quad \text{ for } x \geq 0 \text{ and } \alpha, \beta > 0$

即Maxwell的能量分布是$\Gamma(\frac{3}{2},\frac{1}{kT})$。

对于$N$个粒子，可以根据$\Gamma$分布的加和性得到总能量的分布为$\Gamma(\frac{3N}{2},\frac{1}{kT})$，即： $f(E) = \frac{E^{3N/2-1}}{\Gamma(3N/2)} \left( \frac{1}{kT} \right)^{3N/2} \exp\left(\frac{-E}{kT} \right)$ 由于空间是立方格子，是三维受限的，所以要减去3个自由度$(x,y,z)$，就成了$3(N-1)$。

phantom粒子

魅影粒子存在于界外，每步的速度都要重新设定，位置可以重新设定也可以不重新设定。

魅影粒子与真实粒子会有虚拟的碰撞，这降低了真实粒子的速度，造成了非滑移边界条件。

无滑移是将魅影粒子的总动量设为非零，跟流场相反，所以边界流场速度为零。边界格子的总动量为0，所以魅影粒子的总动量就不为0了。

残余滑移是魅影粒子的总动量为0，所以边界的流场并不为0。如果将魅影粒子总动量设为0，原来的溶液粒子的总动量就不为0了，造成边界格子的粒子有微小的速度，成为残余滑移。

主轴

计算转动惯量矩阵并对角化。

代码不见了。

持久长度

等于无限链长极限的链轮廓末端的的切线上的末端间矢量的平均投影。

弯曲能的形式

有好几种。对应的力的形式不同。

伽利略不变性

MPCD过程中，如果没有每步分配格子时的随机位移，有些物理量无法维持在伽利略变换下的不变性，例如切向粘度和扩散系数。

分配格子前的随机位移可以让这种不变性恢复。

参考【PRE, 63, 020201】。

回弹方法

镜像法：

方程没看懂。

流速